Matematik sınırlı mı, değil mi?

Prof. Dr. Oktay Sinanoğlu

Yazının Okunma Süresi

15 dakika

Matematiğin çeşitli dallarında belitsel (aksiyomatik) yöntem kullanılır: Doğruluğu ispatsız kabul edilen birkaç belitten (aksiyomdan), bazı uslamlama kuralları/işlemleri ile çeşitli (riyaziyenin) çeşitli savlar türetilir ve ispatlanır. Böylece o dal gelişir; Öklid hendesesi (geometrisi), aritmetik, cebir, ilinge (topoloji) dallarında olduğu gibi.

Bu üç unsurlu dizgeye (belitler, tümdengelim kural/işlemleri, savlar), “ Resmî belitsel dizge" (yb. "Formal aksiyomatik sistem”, FAS) diyelim.

Hilbert’ in 1900 yılındaki rüyası

Matematiğin çeşitli alt dalları birer FAS olarak gelişmişti (veya o şekle sokulabilirdi). Ama matematiğin pirlerinden olan Hilbert 1900’lerin başlarında inanıyordu ki, gelmiş, geçmiş, gelecek matematiğin tümü tek bir FAS’dan türetilebilmeli, böyle bir FAS bulunabilmeli; dolayısıyla her bir riyâzî önermenin doğru veya yanlış olduğu o FAS’ın belitlerinden ispatlanabilmeli. Ancak 1931 de, Viyana’da, içine kapanık, genellikle sessiz duran bir doktora öğrencisi, Hilbert’in rüyasının hiçbir zaman gerçekleşemiyeceğini ispatladı. O gencin adı ‘Kurt Gödel' idi.

İspatlanamazlığın ispatı

Gödel en basit ama temel bir FAS’ı ele aldı: Aritmetik; nesneleri (O, 1, 2, 3,...) doğal sayılar, işlemleri toplama, çarpma olan basit aritmetik. Onun belitleri, önermeleri, türetilecek sav ve ispatları için Gödel, insanların kullandığı her hangi bir dili değil de, simgesel mantık(1) dilini kullandı. Bu dilde, veri sayılar, değişkenler “ve”, “veya", “değil” gibi bağlaçlar ve simgeleri kullanılıyor; uslamlama, önermelere, bağlaçlarına uygulanan kurallarla, âdeta mekanikleşen işlemler tarzında yapılıyor. Gödel, aritmetiğin FAS’ından aritmetiğin kendisi hakkında (aritmetik sınırlı mı?) iki temel sav türetti(2) ve onları yalnız o FAS’ın içinde kalarak ispatladı: Birinci sav (“eksiklik" savı): Aritmetik kendisi içinde tutarlı, yani çelişkisiz ise, daima, o FAS'tan türetilecek bazı ‘doğrular’ olduğu halde doğruluğunu ispatlayamayacağımız önermeler bulunacaktır; demek ki aritmetik (FAS) dizgesi ‘eksik’tir. İkinci sav: Kendi FAS’ı içinde kalarak, aritmetiğin çelişkisiz olduğu ispatlanamaz. Böylece, bu en temel matematik dalının öz eksikliği, sınırlı olduğu ispatlanmış oldu. (Sonraki yıllarda Alan Turing, Emil Post ve başkaları bu eksikliğin tüm matematik FAS’ları için de geçerli olduğunu gösterdiler.)

İşte bu suretle Hilbert’in tek bir FAS’tan tüm matematiğin türetilebileceği inancı yıkılmış oldu. Hilbert, Gödel'in savını ve ispatı görünce çok üzülmüş, hayal kırıklığına uğramıştı, ama bir hafta kadar sonra savı ve ispatın doğruluğunu kabullendi; (çünkü Hilbert gerçekten büyük ve büyüklüğü kadar da mütevazı olan bir insandı.) Diğer bazı büyük filozoflar, matematikçiler, ömürleri boyunca, matematiğin temellerini sarsan bu gelişmeyi içlerine sindirmekte zorluk çektiler. “Bilimde, hatta riyaziyede bile, yeni keşfedilen doğruların hazmı pek kolay olmuyor ‘insan tabiatı'".

Gödel’in ispat yöntemi ve bilgisayar/yazılım fikrinin ilk emaresi

Gödel, ispatın daha kolay ve şeffaf olması için simgesel mantık ile aritmetik arasında bir gönderme kurdu. Simgesel mantığın her nesnesi, değişkeni, bağlacı, simgesine bir tamsayı atfettiği gibi her önermeyi de numaraladı. Böylece örneğin bir önermeler dizisi olan bir ispat, peş peşe sıralanmış o doğal sayılardan oluşmuş iri bir tamsayıya tekabül eder oldu. Ancak burada bir sorun var: O uzun tamsayıda bir önermenin bitip yenisinin başladığı nasıl belli olacak?

Önermenin birine tekabül eden tamsayı 5123, diğer ikisi 67435 ve 869 olsunlar. Yan yana dizildiklerinde bunlar 512367435869’u verecek. Ama bu iri sayı pek çok şekilde üç tamsayıya ayrılabilir. Gödel'in çözümü her önerme tamsayısının sonuna bir sıfır eklemek oldu. O zaman üçlü önermeler takımına 51230674350869 karşılık gelecek. Bunu görünce insanın aklına hemen, yirmi yıl sonra ortaya çıkacak olan ilk bilgisayarların makine diliyle yazılmış kodları geliyor. Şu farkla ki, Gödel'in kodu 1 ilâ 9 arası 9 ‘harf’ten (ilaveten 9'dan büyük bazı asal sayılardan) oluşuyor, sonraki makine dili ise “İkil" (yb. “binary”); yani iki ‘harfli, 0 ve 1). Tabii şimdi biliyoruz ki, gündelik alfabemizin 29 harfi (A, B, C, ..., Z) ve de ondalık sayıların on adet temel sayısı (0,1,2,3......9) sayısal olarak değil de, sadece birer simge/ “harf” gibi alındığında, (bir “bayt" oluşturan) sekiz adet ikil hane (yb. “bit”) ile ifade edilebilir. (Dikkat sakınca: Burada alfabe simgelerinin “ASCI" kodlarından bahsettik, (0, ... ,9) simgeleri dâhil. Ancak daha büyük tamsayıları da, 10 tabanlı yerine 2 tabanlı sayılar olarak da yazabiliriz; (3 - >11), (4 ->100), (7 ->111) gibi.) Böylece Gödel’in yıllar öncesinden geleceğin ilk “yazılım" kodu sayılabilecek kodu ikil sayılarla da (veya iki tabanlı sayılar şeklinde de) yazılabilir.

Gödel'in kod buluşu İle bir sayısal İfade hem bir simgesel mantık sürecini, ama aynı zamanda bir aritmetik (ötesi sayılar kuramı) işlemini barındırır oldu. İlginçtir ki, Gödel, “eksiklik savı”nın ispatında asal sayıların özelliklerini de kullandı. (Asal sayıların gizeminden, örneğin hâlâ ispatlanamayan özelliklerinden, birkaç ay önceki iki yazımda(3) bahsetmiştim).

Gödel, Turing, von Neumann ve bilgisayarın temelleri

Gödel'in FAS’tan ispatında uslamla- ma/türetme, mekanik işlemler gibi yapılıyordu. Hilbert'in yöntemleri de öyleydi. Turing, İngiltere’de 1936’ya doğru, 'Bu işlemleri yapacak bir makine olabilir mi acaba?' diye düşündü. O da bir kod icat edip kuramsal/matematiksel bir bilgisayar tasarladı. Ortada henüz bir fiziki alet olmayacaktı ama kavramları bir makine varmış gibi işleyecekti. Bu suretle günümüzün bilgisayarların temelindeki ilkeler 1936'da ortaya atılmış oldu. Bu ilkeler 1950’ye doğru Almanya'dan ABD’ye göç etmiş bulunan von Neumann’la ve bugünkü gibi ikil sayılara, (0 ve 1 )’e dayanır şekilde gelişti ve ilk bilgisayar makineleri yapıldı. Turing ise kuramsal dizgesini, bilhassa Gödel türü eksiklik savları ispatlamak için düşünmüştü, ama 1940’larda II. Dünya Harbi’nde İngiliz hükümeti tarafından Almanların askerî şifrelerini çözmekle görevlendirildi. Turing bu görevini, hayalî bilgisayarını fiziki bir makineye dönüştürerek îfa etti. Günümüz bilgisayarları böylece Turing ve von Neumann’ın, bu iki büyük matematikçinin (ki, her ikisi, kuramsal fizikte de önemli rol oynamışlardır) icadı sayılır.

Turing de, von Neumann da Güderden etkilenmişlerdi, von Neumann, Gödel’in sav ve ispatını ilk anlayıp önemini takdir edenlerdendi. Harp sırasında Princeton İleri Araştırmalar Enstitüsü’ne gelmiş olan von Neumann, Gödel’in de oraya göçmesinde ve savlarının tanınmasında etkili oldu.

Turing’in hesaplanamazları

Turing(4) matematikteki Gödel ispatlanamazlığının yanısıra yeni ‘sanal’ bilgisayarlar ve yazılımları ile de hesaplanamayacakların varolacağını İspatladı; matematiğin “eksikliği”, şimdi de bilgisayar ve yazılım fikri daha yeni doğarken onların eksikliği. Bunun için iki mesele buldu:

i) Veri/girdileri de yazılımın içinde olan, onun dışında dışarıyla girdi ve çıktı alışverişi yapmayan bir yazılımın (içinde elbette geri-çevrimler de bulunacak) bir hesaba başladıktan sonra durup durmayacağını önceden kestirmek mümkün müdür? (Turing Durma Meselesi)

ii) Hesaplanamaz bazı gerçel sayıların varlığı. Bu ikinci mesele,(5) başlı başına çok ilginç bir konu ama bu yazımızda onu ele almayacağız: (i)’e dönelim:

Evet, Turing’in buluşuna göre, içine kapalı bir bilgisayar yazılımının hiçbir zaman durmayacağını kestirecek bir algoritma (Cebirin de mucidi büyük Türk matematikçisi Harzemli’nin adına “Har-zemii" lâfının Batıklarca telâffuz şekli “algoritma"; bir sonuca ulaşmak için tasarlanan bir dizi işlem) olamaz. Demek ki, “Turing durma meselesinin çözümü yoktur. Turing ve sonradan Emil Post 1944’de şu önemli sonucu da çıkardılar:

‘Durma meselesi’nin çözümsüz olduğunun ispatı, Gödel ‘eksiklik’ savını daima eder. Çünkü matematikteki FAS’ın belitler(aksiyomlar) dizisini, soyut bir bilgisayar yazılımı, algoritması gibi düşünebiliriz.

Gödel’in, Turing’in savlarına rağmen gene de matematik sınırlı değildir

Hilbert tek bir belitler dizisinden tüm matematiğin türetilebileceğini ümit etmişti. Gödel, sonra Turing ile bunun gerçekleşemeyeceği ispatlanmış oldu. Ama bu matematiğin ‘sınırlı’ olduğunu mu gösteriyor? Yani matematik, belitler dizisinden türetilebilecek tüm savlar bitince sona mı erecek? Bence hayır. Neden mi?

Yukarıdaki “eksiklik” ispatlanamazlar savları sabit bir belitler dizisi kabullenmiş olduğu için ortaya çıkıyor. Matematiği (eksik de olsa) bu ‘sınırlardan kurtarmak, gelişmesini sağlamak için iki şey yapabiliriz:

a) Eldeki belitler dizisindeki bir beliti değiştirebiliriz. Örneğin Öklid hendesesindeki koşutluk belitinin iki türlü değiştirilmesiyle iki yeni hendese türü, Lobaçevski (ve Poincaré) hendesesi, bir de Riemann hendesesi ortaya çıkmıştır.

b) FAS’ye yeni belitler eklebiliriz. Bu suretle daha geniş matematik dalları geliştirilebilir. (Buna örnek olarak, Standard cebirin üstünde Grassmann, Clifford, Lie cebirlerinin, hatta sonlu öbekler kuramının, çözümsel(analitik) hendesenin ötesinde ‘öndelenmesiz’ (yb. “non-commutative”) Alain Connes hendesesinin çıkmasını gösterebilir miyiz? (Okuyucunun düşünmesini öneririz.)

İşte böylece matematik sınırsızca gelişir de gelişir. Daha yapılacak, icat veya keşfedilecek çok şey var.

Yeni belitler bulmakta kılavuzumuz ne? Sezgi. Öğrendikçe, çalıştıkça, birikimimiz arttıkça gelişecek sezgimiz. Demek ki matematikte yalnız mekanik, simgesel işlemleri yapmaktaki maharetimiz değil, kişisel ve toplumsal kültürümüzle de beslenen sezgimiz, onun da yuvası olan gönlümüz de yer alıyor.

Kaynakça

1) Yavuz Aksoy, “Matematiksel (Simgesel ("Sembolik")) Mantık", Yıldız Teknik Evrenkenti yayını, (1996).

2) Gödel ispatının ayrıntıları için Bkz. E. Nagel ve J.R. Newman. “Gödel's Proof. (ilk baskı. New York Univ. Press. N.Y. 1958; yenilenmişi 2002).

3) O. Sinanoğlu. “Eğitim Bilim dergisi", (Haziran 2006 ve Ağustos 2006 sayıları)

4) A. Turing, Bkz. Örn. [5]

5) Gregory Chaitin, “MetaMath-The Quest for Oméga", Panthéon Books, New York (2005).

Bu yazı Bilim ve Ütopya’nın Şubat 2007 tarihli sayısında yayımlanmıştır.

Bilim
Etiketler
matematik
oktay sinanoğlu
bilim portalı
bilim