Bize Ulaşın

     

Kaos teorisini Poincaré mi keşfetti?

Poincaré kaos teorisinin kökeni olarak görülen çalışmasında "üç cisim problemine" çözüm aramaktadır. Sabit ve periyodik karakterli olan lineer dinamik sistemden, sabit ve periyodik olmayan non-lineer dinamik sistemi bulmasında kullanmış olduğu niteliksel ve geometrik yöntemler önem taşımaktadır.

Kuramın kökleri
Kaos teorisinin bilimsel çalışmalarda Kuhn'un 1962 yılında yayımladığı Bilimsel Devrimlerin Yapısı (The Structures of Scientific Revolutions) başlıklı kitabında karakterize ettiği anlamda bir bilimsel devrim yaratıp yaratmadığından (2, 5, 9, 11, 12, 13, 14, 18 ve 19) tutun da kaosun gerçekten bir teori olup olmadığına (14) dair tartışmalar yapılagelmiştir. Bütün bu sorulara ne cevap verilirse verilsin, kaos teorisi üzerine 1980'lerden beri giderek artan sayıda birçok ilginç çalışmanın(7) yayımlanmış olması, söz konusu teorinin bir süredir bilim camiasında heyecan yaratmış olduğunun delilidir.
Böyle bir heyecan yaratmış olan kaos teorisinin başlangıcına dair başlıkta sorulmuş olan soruya verilecek cevap, birbirinden ilginç iki hikâyeyle doğrudan alakalı. Bunlardan ilki, her ne kadar tartışmalı olsa da (1, 3, 4, 6, 8 ve 10) bazılarınca kaos teorisinin kökeni olarak görülen Henri Poincaré'nin 1889'da İsveç ve Norveç Kralı 2. Oscar Ödülü'nün verildiği "Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique" başlıklı çalışmasının başına gelenlere veya neredeyse bir skandala dairdir. Diğeriyse -ki bu, sorunun cevabından daha önemlidir- Poincaré bu çalışmasında "üç cisim problemine" (three body problem) çözüm aramaktadır. Sabit ve periyodik karakterli olan lineer dinamik sistemden, sabit ve periyodik olmayan non-lineer dinamik sistemi bulmasında kullanmış olduğu niteliksel (qualitative) ve geometrik yönteme dairdir.
Bu çalışmada bahsi geçen iki hikâye kısaca anlatılacaktır.
İlk hikâyemiz İsveç ve Norveç Kralı 2. Oscar'ın 60. yaş gününü kutlamak için 21 Ocak 1889'da bir ödülün verileceğinin duyurulmasıyla başlar. Bu uluslararası yarışma 1885 yılının ortalarında Acta Mathematica dergisinde hem Almanca hem de Fransızca olarak ve Nature'da da İngilizce tercümesiyle duyurulur.(4) Poincaré sözü edilen yarışmaya yukarıya zikredilen çalışmasıyla katılır ve kazandığı, 1889 yılının 21 Ocak'ında duyurulur. Poincaré'nin birincilik ödülü alan bu çalışması Paul Appel'in aynı yarışmada mansiyon alan çalışmasıyla beraber 1890 yılının Kasım ayında da Acta'nın 13. sayısında yayınlanır. Poincaré'nin bu çalışmasının gökyüzü dinamiğiyle mekaniğinde çok önemli olduğu kerelerce yazılmıştır.(4) Sözü edilen çalışma aynı zamanda Poincaré'nin üç ciltlik New Methods of Celestial Mechanics'ine(17) temel teşkil etmesinden ve ilk defa dinamik bir sistemde kaotik davranışın matematiksel tasvirini dile getiriyor oluşundan ötürü de ünlüdür.(4, 6) Buraya kadar mesele yok. Fakat Poincaré'nin ödülü kazanan çalışmasıyla Acta'da yayımlanan çalışması aynı değildir. Birbirlerinden oldukça farklıdırlar. Gerçi Poincaré'nin kendisi de Acta'da yayımlanan yazısında, çalışmasında birtakım değişiklikler yaptığından bahseder, fakat bu değişikliklerin tabiatı ve kapsamı hususunda bir şey söylememiştir.(4, 6) O dönemde de bilinir çalışmada birtakım değişikliklerin yapılmış olduğu, ama yine aynı şekilde tabiatlarının ne olduğu bilinmez.(4, 6, 15) Ta ki 1980'lerin ortasında Poincaré'nin orijinal çalışması Acta'nın arşivlerinde bulununcaya kadar bu hususta bir sessizlik hüküm sürmüştür.(6) Şimdi ise detaylı bilgiye sahibiz; değişikliklerin tabiatı ve kapsamı hakkında derinlemesine bilgimiz var.
Bazılarınca skandal olarak nitelenebilecek bu durum, bundan da ibaret değildir. Çalışmanın ödül için gönderilmesinden, basılışına kadar geçen sürede başına gelenler de bu nitelemeyi destekliyor. Bilimsel eserler ve çalışmalar; lineer, mekanik bir uğraşın neticesi olmayıp, insani bir sürecin ta kendisidirler. Bu bakımdan da, yani kaotik bir sisteme örnek olması özelliğiyle de, önemlidir.

Yarışma dönemi
Sözü edilen ödül, İskandinavyalı matematikçi ve aynı zamanda Acta dergisinin kurucusu ve editörü olan Gösta Mittag-Leffler'in (1846-1927) 1884'te ön ayak olması ve İsveç-Norveç kralının desteğiyle verilir. Kral Oscar'ın böyle bir yarışma düzenlemesine şaşıracak bir şey yoktur; çünkü Uppsala Üniversitesi'nde öğrenciyken, sonradan hararetle destekleyeceği matematik alanında çok başarılı olmuştur. Kral'ın Acta Mathematica dergisinin çıkarılması için bazı matematikçilere mali yardımlar yaptığı biliniyor. Fakat burada böyle bir yarışmayı organize etme fikrinin kimden geldiği, yani Kral'dan mı yoksa Leffler'den mi, hususu pek açık değildir. Mesela, Diacu ve Holmes(6), Leffler'in Kralı ikna edip yarışmayı organize ettiğini yazarlar.
Birinci soru, n-cisim probleminin genel çözümünü sormaktadır, ki Weiestrass uzun zamandan beri bu problemle ilgilendiğinden ötürü bu soruyu sormuştur. İkinci soru, Fuchs'un diferansiyel denklemler üzerine olan teorisinin detaylı bir analizini istemektedir. Üçüncü soru, Briot ve Bouquet tarafından çalışılmış olan birinci dereceden lineer olmayan diferansiyel denklemlere dair detaylı bir çalışmayı istemektedir. Son soruysa, cebirsel ilişkilerin Poincaré'nin aynı otomorfik gruba sahip olan Fuchsiyen fonksiyonlarıyla alakalandırılması çalışmasına dairdir.
Yarışma için gönderilen bütün çalışmalar alındıktan sonra, Leffler çalışmaları değerlendirmek için Almanya'ya Weierstrass'ın yanına gider. Öte yandan Hermite'le de yazışarak çalışmaları değerlendirmeye başlarlar. Leffler, Hermite'e Weierstrass'la ikisinin yarışmayı Poincaré'nin çalışmasının kazanması gerektiğini düşündüklerini yazar. Hermite de onlarla aynı fikirdedir. Jüri üyeleri ayrıca Paul Appel'in çalışmasına mansiyon verilmesi konusunda da anlaşmışlardı. Yarışmayı hangi çalışmanın kazanması gerektiği hususundaki jürinin kararı hemen belli olmuştur. Yani işin kolay kısmı halledilmiştir. Ama geriye işin zor kısmı kalmıştır; çünkü bir çalışmanın değerini anlamak, o çalışmayı tamamen anlamaktan daha kolaydır. Yapılması gereken, çalışmanın tamamını her şeyiyle anlamaktadır. Bu konuda jüri üyelerinin hepsi oldukça zorlanırlar, çünkü Poincaré'nin çalışması çok uzun olmasının yanında (158 sayfa) birçok yeni fikir ve sonuçları da ihtiva etmektedir. Bir de bunların üstüne Poincaré'nin detaylara olan umursamazlığı eklenince, çalışmayı anlayıp değerlendirme işinin oldukça güçleşmiş olacağını tahmin etmek zor olmasa gerek. Özellikle Hermite açıkça telaffuz eder zorlandığını. Bunu Leffler'e 22 Ekim 1888'de yazdığı mektubunda okuyoruz: "Sanki hakikatin parlak bir ışıkla göründüğü bir kişi, bir görücüdür o [Poincaré]; ama ne yazık ki sadece ona".(6) Ne yapılması gerektiği hususunda tartışırlar jüri üyeleri aralarında. En sonunda Leffler, Kral'a sunulacak çalışmanın elverdiğince eksiksiz olması arzusuyla Poincaré'ye yazar; çalışmasını aydınlatacak açıklamaları istemek için. Poincarée 93 sayfadan oluşan açıklayıcı notlarını Leffler'e postalar. 
1889 yılının Haziran ayında Leffler'in asistanı olan Lars Edward Phragmén (1863-1937), Poincaré'nin çalışmasını yayına hazırlarken, Leffler'e; çalışmada açık olmayan yerler olduğunu söyler.(Burada Poincaré'nin çalışmasında hatayı kimin bulduğu konusunda bir uzlaşma yoktur. Mesela, Barrow-Green(4) ve Diacu ve Holmes(6) Phramén'nin Poincaré'nin çalışmasında açık seçik olmayan bazı noktaları bulduğunu onaylamakla birlikte, Poincaré'nin Phragmén'nin sorularını cevaplamaya çalışırken asıl önemli hatayı kendisinin bulduğunu iddia ediyorlar. Oysa Peterson(16) onlarla aynı fikirde değildir.(Hatayı Phragmén'in bulduğunu yazmaktadır.) Bunun üzerine Leffler Poincaré'ye yazar; ama nasıl olsa Poincaré'nin Phragmén'nin bahsettiği problemlerin kolayca üstesinden geleceği zannıyla, oldukça rahattır. Fakat işler öyle gitmeyecektir.
Aynı yılın Aralık ayının başında Poincaré bu hususta Leffler'e yazar. Problemin Leffler'in zannettiği kadar kolayca halledilemeyeceğini, aslında çok daha ciddi olduğunu itiraf eder. Ayrıca meseleyi halletmek için çalışmasında ciddi değişiklikler yapılması gerektiğini de beyan eder. Tabii bu, Leffler'i yerinden hoplatır. Gerçi Acta'nın o sayısı henüz yayımlanmamıştır ama Poincaré'nin yarışmada birincilik verilen çalışmasının sınırlı sayıda olsa da basılı nüshaları birçok matematikçiye postalanmıştır. Yani yarışmada jüri tarafından birinciliğe layık görülmüş ama içinde ciddi yanlışlık olan bu çalışma, okumak ve değerlendirmek üzere alanlarında söz sahibi olan matematikçilerin ellerindedir. Olan olmuştur artık; Leffler'in bu nüshaları toplamaktan başka yapabileceği bir şey yoktur. Leffler bu işe girişir ve çalışma kimlere gönderilmişse, herkese yazar ve ellerindeki kopyanın kendisine geri gönderilmesini ister. Tabii bu da birçok eleştiriye ve dedikoduya yol açar. Bütün masrafları Poincaré üstlenir; bu da yarışmada verilen paradan çok daha fazladır.
Poincaré 1890 yılının Ocak ayında yeni çalışmasını, yani hatanın tamamen giderildiği çalışmasını Leffler'e gönderir. Bu kez hata yoktur ama çok önemli ve köklü değişiklikler yapmıştır bu yeni çalışmasında. Ayrıca açıklayıcı notları da çalışmasının içine yerleştirmiştir. Bu haliyle çalışma Acta'nın 13. sayısında yayınlanır. Weierstrass'ın raporu da daha sonraki sayıda yayımlanacak denir.
Bundan sonra hikâye edeceğimiz, Poincaré'nin çalışmasında 3-cisim problemini çözmek için yaptıklarıdır. Fakat burada Poincaré'nin çalışmasının detaylı bir tasviri verilmeyecektir. Ayrıca integral invariant, periyodik, asimtotik çözümler, homoklinik noktalar, Poincaré teoremi gibi kavramlardan da bahsedilmeyecektir. Problemin kısa bir tasviri verildikten sonra, Poincaré'nin problemi çözmek için kullandığı niteliksel/geometrik/topolojik tavırdan söz edebilmek için "Poincaré map"tan bahsedilecektir.
Poincaré her ne kadar yarışmada sorulan sorulardan birincisine cevap olsun diye çalışmasını yollamış olsa da çalışmasının problemin tam çözümü olmadığını kendisi de ifade eder. Poincaré'nin çalışması, 3-cisim probleminin sınırlı bir versiyonunun çözümünü vermeyi amaçlamaktadır. Bu versiyon şu şekilde tasvir edilebilir: Kütle merkezlerinin etrafında gravitasyonel çekim etkisiyle dairesel yörüngelerinde hareket eden biri oldukça büyük diğeri de küçük olan iki gök cisminin oluşturduğu sistemde, neredeyse kütlesiz ve dolayısıyla diğer iki cismi etkilemeyen ama onların gravitasyonel çekimlerinin etkisi altında söz konusu sistemde hareket eden bir üçüncü cisimden (veya asteroit ya da planetoid) meydana gelmiştir.
Hareket halindeki tek bir cismin, hareketinin ne olacağını biliyoruz. Bunu bize atalet prensibi söylemektedir. Birbirlerini Newton'cu gravitasyonla etkileyen iki cismin hareketlerinin probleminin de üstesinden kolaylıkla gelinebilir. Ama üç veya daha fazla cisimden oluşmuş sistemin hareketlerini bilmek veya çözmek, pek kolay bir iş değildir.
Şimdi bir diferansiyel denklemin bize söylediği bir sistemin zaman içindeki bir an'dan oldukça küçük zaman sonrasındaki bir an'a kadar nasıl değiştiğidir. Fakat bu, uzun vadeli tahminlerde bulunmak için pek de etkili bir yol değildir. Uzun vadeli tahminleri yapabilmek için oldukça küçük olan bu değişimleri toplamak yani entegre etmek gerekmektedir. Bu da tahmini yakınlaştırmaları (approximations) yapmamızı zorunlu kılmaktadır. Dolayısıyla o zamanlarda bu yöntem gezegenlerin pozisyonlarının tahmin edilmesinde çeşitli hatalara yol açmaktaydı. Aynı zamanda bu yol, o dönemin adım adım ilerleyerek kılı kırk yaran ispatlara olan düşkünlüğüne de aykırıydı. Yani o dönemde hakim olan niceliksel anlayış, gezegenlerin yörüngelerini, pozisyonlarını milimi milimine veren açık-seçik ve kesin formüllerin, entegrallerin, çözümlerin, ispatların peşindeydi; ama niceliksel metot bu hususta pek başarılı değildi; çünkü yukarıda bahsedildiği üzere gezegenlerin pozisyonlarının tahmin edilmesinde hatalı sonuçlar vermekteydi.

3 cisim problemi
Yeniden 3-cisim problemine dönelim. Buradaki sorular şunlar: Bu sistemdeki üçüncü cismin hareketi ne olacaktır? Bu sistem dengede midir, değil midir?
Poincaré bu problemin çözümünde niceliksel yöntem yerine diyagramlara dayalı niteliksel veya görsel/geometrik/topolojik yöntem uygular. Aslında Poincaré bu yöntemi diferansiyel denklemlerin davranışlarını inceleyip anlamak için daha önceden geliştirmişti. Mesela bu, akıntıdaki su damlasının hareketini tespit etmek yerine, akıntının yüzeyini oluşturan bütün su damlalarının akış düzenini karakterize etmeye çalışmak gibidir. Bu problemde Poincaré, planetoidin trajektörisinin nasıl inşa edilebileceği meselesiyle ilgilenmekteydi.
Şimdi yukarıda sorulmuş soruya verilecek akla gelen ilk basit cevap şu olabilir: Basit periyodik hareket. Yani, aynı hızla aynı noktadan her seferinde geçecek bir hareket. Poincaré kendini tekrar eden bu yörüngeyi tasvir etmek için şöyle düşünüyor; trajektörlerin kendilerini boş verin. Basitçe şunu yapın: Asteriodin yoluna dikine bir düzlem veya kâğıt koyun (Şekil 1'e bakınız). Üçüncü cisim bu sabit periyodik hareketi yaparken yoluna koymuş olduğumuz kâğıtta F gibi bir noktadan bir delik açacaktır. Ve F noktasında açmış olduğu delikten geçecektir hep. Sonsuza kadar.
İşte bu "Poincaré map" denilen şeydir. F noktasındaki delik ise "sabit nokta" (fixed point) olarak isimlendirilir. Poincare, bu iki boyutlu kâğıt üzerinde cisim tarafından açılmış olan deliklerin düzeniyle ilgileniyor; cismin uzaydaki bütün yörüngesini çıkarmak yerine.
Eğer cisim yörüngesine farklı bir pozisyon ve hızla başlamışsa, bu kendini tekrar eden basit hareketi yapmayabilir. Yani bu yörüngede seyahat etmeyebilir. Mesela, benzer başka bir cisim F'den değil de yakınından delerek geçebilir. Burada söz konusu olan ihtimallerden biri, cismin F'ye doğru devamlı yaklaşarak S1, S2, S3 gibi delikler açarak hareket etmesi ve sonsuzda da F'ye erişmesidir (Şekil 2'ye bakınız).
Bu deliklerin yani S1, S2, S3 gibi F'den geçerek bir eğri oluşturduklarını farz edelim. Bu eğriye yani S'e "dengeli (stable) eksen" adı verilir.
Bunun tersi de olabilir. Yani, cisim her geçisinde U-3, U-2, U-1 gibi delikler açarak F'den uzaklaşabilir de (Şekil 3'e bakınız).
Buna da yani U'ya "dengede olmayan (unstable) eksen" denir. Poincaré bu delikleri açıp uzaklaşarak yol alan cismin F gibi başka bir sabit noktaya vararak dengeleneceğini iddia eder. Hata da tam bu noktada ortaya çıkmıştır. Bu dengeye varacağı noktaya ulaşma durumu bütün haller için ispatlanmamıştır. Dolayısıyla da kaotik davranışın kaynağı buradadır.(4,6)
Poincaré'nin çalışmasının önemi hem bu çalışmasında elde ettiği sonuçlardan hem de belki daha da önemlisi bu sonuçları elde etmek için kullanmış olduğu niteliksel yöntemden kaynaklanmaktadır. Dinamik sistemdeki kaotik davranışın ilk tasvirini vermiştir Poincaré bu çalışmasında. Bu çalışmanın başlığındaki soru cevaplanmış olmaktadır. Poincaré her ne kadar bugünkü anlamıyla kaos teorisini keşfetmemiş olsa da elde etmiş olduğu bu sonuç daha sonraları Hadamard, Birkhoff ve diğerleri tarafından daha da geliştirilerek, bu teorinin kurulmasına ön ayak olmuştur.(4, 6, 8, 10) Ayrıca, niteliksel metot Poincaré'nin daha sonradan kuracağı ve matematiğin çok önemli bir dalı olacak olan analysis situs'un yani topolojinin temelini oluşturmuştur. Kendisinin geliştirip dataların analizinde kullanmış olduğu dinamik, geometrik, topolojik karakterli bu niteliksel yöntem, yaklaşım, kaos teorisi olarak bilinen çalışmaların birleştirici ve bütünleştirici temel elementi gibi görünmektedir. Niceliksel metot bizi kısa dönemlik tahminlerle yetinmek zorunda bıraktığı için zayıftır. Oysa bu görsel, sezgisel, geometrik yaklaşım, şeyler arasında var olduğu sezilen ve uzaklık, biçim, ebat, açı gibi niceliklerin bozulmasına yol açan dönüşümlerde, transformasyonlarda, değişmeden kalan hakiki ilişkilerin yakalanmasına imkân vermektedir. Sözü edilen bu ilişkiler, açık-seçik ve kesin olan formüllerin yerine kullanılabilirler. Bundan dolayı da güçlüdür bu metot; çünkü bu tip sahici ilişkilerin üzerine kurulacak olan ve en güvenilir olarak bilebileceğimiz bir yapının (structure) oluşturulmasına izin vermektedir.

KAYNAKÇA
1) Anderson, K.G. (1994), "Poincaré's Discovery of Homoclinic Points", Archive for History of Exact sciences, 48, pp. 133-147.
2) Barrow, J. (1988), "Review of Gleick 1987", New Scientist, 118, No. 1614, pp. 73-74.
3) Barrow-Green, J. (1994), "Oscar II's Prize Competition and the Error in Poincaré's Memoir on the Three-Body Problem", Archive for History of Exact Sciences, 48, pp. 107-131.
4) Barrow-Green, J. (1997), "Poincaré and the Three-Body Problem", Providence, RI, American Mathematical Society.
5) Devaney, R.L. (1990), "Chaotic Explosions in Simple Dynamical System", pp. 1-9., The Ubiquity of Chaos, ed. S. Krasner, Washington, American Association for the Adcancement of Science.
6) Dicau, F., Holmez, P. (1996), "Celestial Encounters, the Origins of Chaos and Stability", Princeton, NJ, Princeton University Press.
7) Dresden, M. (1992), "Chaos: a new scientific Paradigm -or science by public relations?- part 1", the Physics Teacher, 30, pp. 10-14.
8) Galison, P. (2003), "Einstein's Clocks, Poincaré's Maps", New York, W.W. Norton and Company.
9) Gleick, J. (1987), "Chaos: Making a New Science", New York, Viking Penguin.
10) Goroff, D.L. (1993), "Henri Poincaré and the Birth of Chaos Theory: an Introduction to the English Translation of Les Méthodes nouvelles de la mecanique céleste", Poincaré (1993) içinde, pp. 11-1107.
11) Hayles, K. (1990), "Chaos Bound", Ithaca, Cornel University Press.
12) Hirsch, M.W. (1989), "Chaos, Rigor and Hype", Review of Gleick 1987, the Mathematical Intelligencer, 11, pp. 6-8. 
13) Kellert, S.H., Stone, M.A., Fine, A. (1190), "Models, Chaos and Goodnes of Fit", Philosophical Topics, 18, pp. 85-105.
14) Keller, S.H. (1992), "A Philosophical Evaluation of the Chaos Theory 'Revolution'", PSA, vol.2, pp. 33-49.
15) Moulton, F.R. (1912), "M. Henri Poincaré", Popular Astronomy, 10. p.625.
16) Peterson, I. (1993), "Newton's Clock - Chaos in the Solar System", New York, Freeman.
17) Poincaré, H. (1993), "New Methods of Celestial Mechanics" vol. 1-3, American Institute of Physics.
18) Pool, R. (1989), "Chaos Theory: How Big and Advance?", Science, New Series, vol. 245, no. 4913, pp. 26-28.
19) Ruelle, D. (1991), "Chance and Chaos", Princeton, Princeton University of Press

Bu yazı Bilim ve Ütopya'nın Kasım, 2006 sayısında yayımlanmıştır.