Riemann hipotezi, matematikte asal sayıların dağılımı gibi ilginç konularla bağlantılı bir sanı. Ayrıca Clay Matematik Enstitüsü tarafından çözene $1.000.000 ödül vaad edilen ve milenyum problemlerinden biridir. 24 Eylül 2018 Pazartesi günü Abel ödülü ve Fields madalyası sahibi ünlü matematikçi Michael Atiyah (90) Riemann hipotezinin “basit” bir ispatını bulduğunu iddia etti. Biz de bu yazıda Riemann hipotezine değineceğiz.
Riemann hipotezini tanıtmadan önce Riemann zeta fonksiyonunu (
Örnek olarak vermek gerekirse, 
için Riemann zeta fonksiyonu 
’ya eşittir. 
içinse seri ıraksar, yani değeri sonsuzdur. Fonksiyonun değişkenini (
’yi) gerçel değil de karmaşık alınabilir ve bu şekilde bu fonksiyonun “analitik uzanımı” bulunabilir. Bundan sonra Riemann zeta (kısaca zeta fonksiyonu) fonksiyonundan bahsederken bu “analitik uzanımın”dan bahsediyor olacağız.
Zeta fonksiyonunun Riemann tarafından da bilinen basit kökleri (
denklemini sağlayan sayılar) vardır: bunlar negatif çift tamsayılardır (örneğin 
). Ayrıca karmaşık düzlemde 
ve 
doğruları arasındaki dilimde sonsuz tane kökü vardır. Riemann bu basit olmayan köklerin 
doğrusu etrafında simetrik olduğunu da biliyordu. Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun basit olmayan köklerinin karmaşık düzlemde doğrusu (yani zeta fonksiyonunun basit olmayan kökleri 
şeklinde olmalıdır. Burada 
sayısı karmaşık birimdir ve 
’in kare köküdür) üzerinde yer aldığını iddia eder. Riemann hipotezi 10.000.000.000.000 çözüm için doğrulandı. Bu insana umut verse de bir desenin bir süre devam ettikten sonra bozulması ihtimali de var (Çok uzunca bir süre eden ve sonrasında geçerli olmayan bir desen için 4. referansa bakabilirsiniz). Onun için bu kadar kökü bulunmasına rağmen Riemann hipotezine, sayısal hesaplamalara dayanarak, doğru diyemeyiz. Bir sözün doğru olduğunu göstermek için heryerde doğru olduğunu ispatlamamız lazım, fakat yanlış olduğunu göstermek için tek bir örnek yeter. Matematik bu konuda acımasızdır.
İleri Okumalar