Rene Descartes: Analitik geometri ve odadaki sinek

Başlangıç

1596’da dünyaya gelen Descartes, bebekken annesini kaybetmişti. Küçük yaşta babasının ikinci evliliği dolayısıyla ninesinin yanında yaşamaya başlayan Descartes’ın yirmili yaşlarına kadar hayatı hastalıklarla geçmişti. Tüberküloza yakalanan ve bitmek bilmeyen öksürükleriyle boğuşan Descartes, bu yüzden her gün okula diğer öğrencilerden daha geç bir saatte gidiyordu. Böylece Descartes ömrünün son aylarına kadar her sabah saat 11’de yataktan çıkmayı alışkanlık haline getirmişti. 1616’da Poitiers Üniversitesi’nden hukuk derecesi alan Descartes, eğitiminden sonra Fransa’dan ayrılıp Avrupa’yı gezmek istemişti. Bu amaçla Hollanda’nın Breda kentinde bulunan bir askeri okula yazılan Descartes, askeri mühendislik bölümünde olmasına rağmen zamanının neredeyse tamamını matematik ve mekanik öğrenmeye ayırmıştı. Ona göre en çok zevk aldığı bilim dalı matematikti. Çünkü matematik doğru ile yanlışı kesin olarak birbirinden ayırabiliyordu.

Descartes 1618’de ünlü Hollandalı matematikçi Isaac Beeckman’dan matematik ve mekanik öğrenmişti. Bir yıl sonra Hollanda’dan ayrılıp Bavyera ordusuna katılmıştı. Buradayken artık yakın bir arkadaşı olarak gördüğü Beeckman’a 1619’un Mart ayında bir mektup yazmış ve “…her sorunun kendi durumuna göre çözümü olduğu yeni bir bilim dalı üzerinde düşünüyorum. Örneğin aritmetikte soruların çözümleri bazen rasyonel sayı, bazen rasyonel olmayan sayı çıkar. Bazen de bu soruların çözümleri sadece hayal edilebilir.[1] Ümidim o ki tüm soruların çözümleri için geometrinin kullanılabileceğini ispatlarım” demişti.

Descartes matematikle alakalı düşüncelerini Almanya’nın Ulm kentinde devam ederken hayatının geri kalanını etkileyecek üç rüya görmüştü. Ona göre bu rüyalar kutsal ruhun isteği üzerine gerçekleşmişti. Çok sonraları yayımlayacağı Discours de la Methode kitabında bu olaydan bahseden Descartes, matematik ile doğruya ulaşmak için geometrinin önemini vurgulamıştı. 1620’de Bavyera ordusundan ayrılan Descartes’ın hayatında önemli bir dönem başlıyordu.

Descartes, Paris’teki veba salgını dolayısıyla Fransa’ya dönmeyip Avrupa’yı gezmeye karar vermişti. Sekiz yıl boyunca seyahat eden Descartes, sadece kısa süreler için Paris’e geri dönüyordu. Paris’i her ziyaretinde kullandığı ev ünlü filozofların toplantı yeri gibiydi. Paris şehrinin kalabalığından bunalan Descartes, matematik ve felsefeyle ilgili çalışmalarını sürdürmek için yıllardır arzu ettiği izole hayata Hollanda’ya yerleşerek kavuşmuştu. 1629’da Hollanda’daki dokuzuncu ayını dolduran Descartes, Fransız Mersenne’ye bir mektup yollayıp şunları demişti: “Buraya geldiğimden beri fiziğin kökleriyle alakalı durmaksızın çalışıyorum ve Tanrı’ya şükür vaktimi boşa harcamadım. En azından metafiziksel gerçekleri geometriyi kullanarak ispatlayabileceğimi düşünüyorum. Ama kimseyi bu düşünceye ikna edebileceğimi sanmıyorum.” Bu mektuptan hemen sonra yaşananlar, Descartes’in çekincelerini ispatlar nitelikteydi. Gezegenlerin hareketleriyle ilgili fikirleri sebebiyle ev hapsi cezası alan Galileo’nun yaşadıkları, Descartes’in bu konuyla alakalı fikirlerini yaşamı süresince yayımlamamasına neden olmuştu.

Hollanda’dayken Mersenne, Beeckman, Huygens, Frans van Schooten gibi ünlü bilim insanlarıyla görüşmeyi sürdüren Descartes, yakın çevresinin baskısı sayesinde çalışmalarını yayımlamaya karar verdi. 1637’de Leiden’de yayımladığı eseri üç bölümden oluşuyordu: La Dioptrique, Les Meteores ve La Geometrie. La Dioptrique, optikle alakalı ama yenilikçi olmayan bir eserdi. Les Meteores ise meteorolojiyle ilgiliydi. Hava durumunu bilimsel olarak ele alan ilk çalışma olarak bilinir. Fakat Les Meteores’in içeriğinde birçok yanlış bilgi bulunuyordu. Buna rağmen Descartes’in çalışması Hooke, Boyle ve Halley gibi önemli bilim insanlarını meteoroloji alanında yayımlar yapmaya teşvik etmişti. Descartes’in yayımında asıl önemli olan ve ses getiren kısım La Geometrie’di. La Geometrie’nin önemini üç maddede sıralayabiliriz:

• Geometrideki tipik problemlerde cebir anlam kazandı ve geometrik uygulaması olamayacağı düşünülen cebirsel problemler geometrik olarak gösterilmeye başlandı.
• Cebirin tüm doğal işlemleri geometriye aktarıldı.
• Eskiden geometrik olarak ifade edilmesi dahi düşünülemeyen cebirsel problemlerin geometrik çözümleri standartlaştı.

Tavandaki sinek

Descartes’in gençliğinde geç saatte güne başlama alışkanlığı edindiğinden bahsetmiştim. Efsaneye göre Descartes her sabah uyandıktan sonra bir süre yatağından çıkmayıp matematik ve felsefe üzerine düşünürmüş. Bir sabah Descartes yatağında sırt üstü uzanıyorken odasının tavanında gezinen bir sineği izlemeye koyulmuş. Bir an için “acaba sineğin tavandaki konumunu birine nasıl anlatabilirim?” diye düşünen Descartes, tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak seçmiş. Sineğe o noktadan ulaşmayı hayal eden Descartes, nokta üzerinden önce dikey sonra da yatay olarak belli ölçülerde giderse sineğin konumuna varacağını keşfetmiş. İşte efsaneye göre analitik geometrinin keşfi bir filozofun odasına giren sinek sayesinde gerçekleşmişti.

Descartes’in düşüncesine göre yatay olarak gittiği mesafe x’i, dikey olarak gittiği mesafeyse y’yi verir. Yani sineğin bulunduğu pozisyon bir (x,y) ikilisiyle ifade edilir. (Bu pozisyon x karış yatay, y karış dikey git anlamına gelir.) Koordinatın başlangıç noktası olan köşeden çıkacak çizgileri sonsuza dek yatay ve dikey olarak uzattığımızda oluşan şekle bugün kartezyen koordinat deriz. Yani Descartes’ın cebirle geometri arasındaki ilişkiyi sinekli koordinat sistemini hayal ederek kurduğu iddia edilir.

Ona göre koordinat düzleminde çizilmiş olan herhangi bir şekil cebirsel olarak ifade edilebileceği gibi, tam tersi de geçerliydi. Yani herhangi bir cebirsel denklem de koordinat düzleminde geometrik olarak ifade edilebilirdi.

Geometrik bir şeklin cebirsel denkleme dönüşü: Bugün çemberin genel denkleminin x² + y² = r²olduğunu biliyoruz. Bu denklemin geometrik olarak ifade ettiği şey, (x,y) ikililerinin çemberin üzerindeki noktalara denk geldiğidir.[2] Bir örnek yardımıyla ifade edersek merkezi koordinat düzleminde (0,0) noktası olan ve 2 birimlik yarıçap uzunluğuna sahip bir çemberin cebirsel olarak ifadesi x²+y²=2² olur. Bu denklemi sağlayan (x,y) ikililerinin her biri ise çemberin üzerinde bir noktaya denk gelir.

Descartes en kapsamlı çalışması olan Principia Philosophiae’yi 1644’te Amsterdam’da yayımlamıştı. Kitabında tüm evreni matematiksel bir temel üzerine oturtmaya çalışan Descartes’in fikirlerine Henry More itiraz etmiş ve ikili iki yıl boyunca bu konu hakkında mektuplaşmıştı. Paris’te tanıştığı ünlü Fransız matematikçi Pascal ile de 1647 ve 1648’de tartışmalar yapan Descartes, 1649’da İsveç’ten önemli bir iş teklifi almıştı. İsveç kraliçesine matematik öğretmek için Stockholm’e yerleşen Descartes, ilk gün sabah saat beşte uyandırılmıştı. Çünkü kraliçe her gün o saatte matematik çalışmak istiyordu. Hayatı boyunca geç saatte uyanmaya alışmış olan Descartes buna Stockholm’ün soğuk havası da eklenince zatürre hastalığına yakalanmıştı. Sadece birkaç ay sonraysa hastalığı nedeniyle ölmüştü.

Descartes mi? Fermat mı?

Bilim tarihi incelendiğinde iki insanın aynı şeyi aynı anda keşfettiğine birden çok örnekte rastlayabiliriz. Bu örneklerden biri Descartes ile aynı dönemde yaşayan ve onun matematiksel rakibi diye adlandırılabilecek Fransız avukat Pierre de Fermat arasındaydı. Bugün koordinat düzleminden bahsederken “kartezyen” kelimesiyle Descartes’e ithafta bulunuyor olsak da, analitik geometrinin keşfinin Descartes ile Fermat’ın ikisine birden ait olduğunu söylemek yanlış olmaz. Descartes’in koordinat düzlemiyle alakalı fikirlerini barındıran La Geometrie’nin 1637’de yayımlandığını biliyoruz. Fermat ise analitik geometriyle ilgili fikirlerini yaşadığı süre içinde yayımlamamıştı. Ancak, o öldükten çok sonra 1679’da yayımlanan ve kişisel notlarından oluşan Introduction to Loci incelendiğinde Fermat’ın koordinat düzlemini 1636’dan önce keşfetmiş olduğu ortaya çıktı.

Koordinat düzlemi fikri ilk olarak Fermat’a aitti. Fakat Fermat yayım yapmadığı için Descartes bundan haberdar değildi. Yani birinin diğerinden etkilendiği iddia etmek için bir sebebimiz yok. Zaten ikilinin çalışmaları karşılaştırıldığında arada bazı farklılıklar olduğu görülüyor. Farklılıklardan ilki notasyonla alakalıydı. Descartes çalışmasında cebirsel sembolleri zamanı için olağanüstü diye tabir edebileceğimiz bir şekilde kullanmıştı. Öyle ki, bugün cebir branşına az çok hâkim olan bir öğrenci Descartes’in La Geometrie’sinin herhangi bir sayfasını açıp kullanılmış olan notasyonu rahatlıkla anlayabilir.

Bir başka fark ise denklem çözümlerindeydi. Her iki bilim adamı da denklemlerin sadece pozitif sonuçlarıyla ilgilenmişti. Fakat Descartes’in çözdüğü denklemlerin sadece bir sonucu varken Fermat sonsuz tane çözümü olan denklemlerle uğraşmıştı.[3] Ayrıca Fermat’ın analitik geometriyle alakalı açıklamaları Descartes’inkine göre daha sistematik ve öğreticiydi.

Kartezyen koordinat sistemi iki boyutludur. Her ne kadar Descartes ve Fermat bu konu üzerine matematiksel bir çalışma yapmamış olsa da her iki bilim insanı da üçüncü boyutun varlığından bahsetmişti. Hatta Fermat bir adım ileri gitmiş ve üçten fazla boyut olduğunu iddia etmişti.

Sonuç

Antik Yunanistan’da yaşamış olan matematikçiler x² ifadesini alan, x³ ifadesiniyse hacim olarak düşünmüştü. La Geometrie’deyse Descartes bu ifadelerin aslında kâğıt üzerine çizilen doğru ve/veya eğrileri de belirttiğini göstermişti. Descartes’in gösterimi iki yönlüydü, yani bir cebirsel ifade geometrik olarak gösterilebiliyorken aynı şekilde defterimize çizdiğimiz bir eğri de cebirsel bir ifadeye denk gelebilirdi. Descartes cebirle geometriyi birbirine bağlayarak ortaya yeni bir matematik çıkarmıştı. Bundan sonra matematiğin ilerleyişi kaçınılmazdı. 

*Instagram: @kmatolye

Bu yazı Bilim ve Ütopya'nın Ocak 2019 sayısında yayımlanmıştır.

Kaynaklar

Ariew, R., Descartes and Pascal, Perspect. Sci., Cilt: 15, Sayı:4, s. 397-409, 2007.

Boyer, C. B., Descartes and the geometrization of algebra, Amer. Math. Monthly, Sayı: 66, s. 390-393, 1959.

Boyer, C. B., Fermat and Descartes, Scripta Math., Sayı: 18, s. 189-217, 1952.

Forbes, E. G., Descartes and the birth of analytic geometry, Historia Math., Sayı: 4/1977, s. 141-151, 1977.